Matematika Kelas 11 | Kedudukan Titik dan Garis Lurus Terhadap Lingkaran

lingkaran

Artikel Matematika kelas XI ini menjelaskan tentang kedudukan (letak) suatu titik dan garis pada lingkaran.

--


Di tingkat SMP, kamu sudah belajar mengenai lingkaran. Mulai dari mengenal berbagai macam bagian-bagian lingkaran sampai dengan cara menghitung luas bangunnya. Pada lingkaran, terdapat yang namanya titik pusat dan juga jari-jari. Ada yang masih ingat pengertian dari keduanya? Titik pusat merupakan suatu titik yang berada tepat di tengah lingkaran. Oleh karena itu, koordinat titik pusat adalah (0,0). Sementara itu, jari-jari lingkaran merupakan garis lurus yang menghubungkan titik pusat dengan satu titik pada garis lengkung lingkaran. Rumus menghitung jari-jari juga sudah kamu pelajari, ya.

lingkaran

P = pusat lingkaran, r = jari-jari lingkaran

Baik titik pusat maupun jari-jari, pasti bisa kamu ketahui posisi atau letaknya dengan jelas. Lalu, kakak ada beberapa pertanyaan. Bagaimana jika terdapat satu titik yang terletak bukan di pusat lingkaran? Atau, bagaimana jika ada garis lurus pada lingkaran yang tidak kita ketahui dengan jelas, apakah garis itu memotong lingkaran atau bersinggungan dengan lingkaran?

Nah, teman-teman, sebenarnya pertanyaan-pertanyaan di atas tadi lah yang akan kita bahas pada artikel kali ini, yaitu mengetahui kedudukan atau letak suatu titik dan garis lurus pada lingkaran. Oke, langsung saja kita simak pembahasannya berikut ini.

kedudukan titik pada lingkaran

Kedudukan titik pada lingkaran terbagi menjadi tiga kondisi, yaitu titik terletak di dalam lingkaran, titik terletak di luar lingkaran, dan titik terletak pada garis lengkung lingkaran. Sebenarnya, letak titik pada lingkaran ini dapat kita ketahui dengan mudah apabila keduanya digambarkan pada bidang kartesius. Tapi, cara itu kurang efektif karena memerlukan waktu yang cukup lama. Apalagi, jika digunakan di ujian nanti. Cara lain yang dapat kita gunakan untuk mengetahui kedudukan titik-titik tersebut tanpa harus menggambarnya adalah dengan menggunakan rumus persamaan lingkarannya.

Ada tiga macam bentuk umum persamaan lingkaran. Penentuan letak suatu titik pada lingkaran tergantung dari masing-masing bentuk persamaannya.

1. Kedudukan titik pada lingkaran dengan bentuk umum x2 + y2 = r2

Pada bentuk persamaan x2 + y2 = r2, lingkaran memiliki titik pusat di O(0,0) dan panjang jari-jari r. Misalkan terdapat suatu titik, yaitu Q (x1, y1). Kedudukan titik Q terhadap lingkaran x2 + y2 = r2 adalah sebagai berikut:

kedudukan titik pada lingkaran

Supaya kamu lebih mudah memahami maksud dari rumus di atas, yuk kita coba kerjakan beberapa contoh soal di bawah ini.

Contoh soal:

1. Tentukanlah kedudukan atau posisi titik (5,2) terhadap lingkaran x2 + y2 = 25!

2. Titik (8,p) terletak tepat pada lingkaran x2 + y2 = 289 apabila p bernilai?

Pembahasan:

1. Pada persamaan x2 + y2 = 25 diketahui nilai r2 = 25. Untuk menentukan kedudukan titik (5,2) terhadap lingkaran x2 + y2 = 25, kita bisa langsung mensubstitusikan titik tersebut ke dalam persamaan lingkarannya. Jadi, (x,y) = (5,2). x2 + y2 = 52 + 22 = 25 + 4 = 29. Ternyata, hasil dari x2 + y2 > r2 yang menandakan kalau titik (5,2) terletak di luar lingkaran x2 + y2 = 25.

2. Syarat agar suatu titik tepat berada pada lingkaran adalah x2 + y2 = r2. Kita substitusi titik (8,p) ke dalam persamaan x2 + y2 = 289, sehingga

x2 + y2 = 289 

82 + p2 = 289

64 + p2 = 289

p2 = 225

p = 15 atau -15. Jadi, agar titik (8,p) terletak tepat pada lingkaran x2 + y2 = 289, nilai p haruslah bernilai 15 atau -15.

2. Kedudukan titik pada lingkaran dengan bentuk umum (x-a)2 + (y-b)2 = r2

Pada bentuk persamaan ini, lingkaran memiliki titik pusat di P(a,b) dan panjang jari-jari r. Misalkan, terdapat suatu titik, yaitu Q (x1,y1). Kedudukan titik Q terhadap lingkaran (x-a)2 + (y-b)2 = r2 adalah sebagai berikut:

kedudukan titik pada lingkaran

Contoh soal:

Tentukan kedudukan titik (3,5) pada lingkaran dengan persamaan (x-3)2 + (y-2)2 = 16!

Pembahasan:

Seperti pada pembahasan soal nomor 1 sebelumnya, letak titik (3,5) pada lingkaran (x-3)2 + (y-2)2 = 16 dapat kita ketahui dengan mensubstitusi titik tersebut ke dalam persamaan lingkaran, sehingga (x-3)2 + (y-2)2 = (3-3)2 + (5-2)2 = 0 + 32 = 9. Nilai (x-3)2 + (y-2)2 < r2. Berarti, titik (3,5) terletak di dalam lingkaran (x-3)2 + (y-2)2 = 16.

3. Kedudukan titik pada lingkaran dengan bentuk umum x2 + y2 +Ax + By + C = 0

Persamaan lingkaran dengan bentuk x2 + y2 +Ax + By + C = 0 memiliki titik pusat di dan jari-jari r = . Sebenarnya, bentuk persamaan ini merupakan hasil penjabaran dari bentuk (x-a)2 + (y-b)2 = r2. Misalnya, terdapat suatu titik pada lingkaran, yaitu Q (x1,y1). Kedudukan titik Q terhadap lingkaran x2 + y2 +Ax + By + C = 0 adalah sebagai berikut:

kedudukan titik pada lingkaran

Sekarang, kita coba kerjakan soal di bawah ini.

Contoh soal:

Tentukan nilai m agar titik (2,m) terletak di luar lingkaran x2 + y2 + 2x - 6y - 15 = 0!

Pembahasan:

Agar titik (2,m) berada di luar lingkaran x2 + y2 + 2x - 6y - 15 = 0, syarat yang harus dipenuhi adalah x2 + y2 + Ax + By + C > 0. Oleh karena itu, kita substitusikan titik (2,m) ke dalam persamaan x2 + y2 + Ax + By + C > 0 menjadi sebagai berikut:

x2 + y2 + Ax + By + C > 0

x2 + y2 + 2x - 6y - 15 > 0

22 + m2 + 4 - 6m -15 > 0

4 + m2 + 4 - 6m - 15 > 0

m2 - 6m - 7 > 0

(m - 7)(m + 1) > 0

m > 7 atau m > -1

Jadi, agar titik (2,m) berada di luar lingkaran x2 + y2 + 2x - 6y - 15 = 0, nilai m yang memenuhi adalah m > 7 atau m > -1.

Nah, teman-teman, paham ya dengan penjelasan di atas. Nah, sekarang kita lanjut yuk ke bahasan tentang kedudukan garis lurus terhadap lingkaran. Cus, meluncuuurrr!!!

kedudukan garis pada lingkaran

Sama halnya dengan pembahasan sebelumnya, kedudukan garis terhadap lingkaran terbagi menjadi tiga kondisi, yaitu garis memotong lingkaran di kedua titik berbeda, garis menyinggung lingkaran di satu titik, dan garis tidak memotong ataupun menyinggung lingkaran.

Misalkan, ada sebuah garis lurus dengan persamaan y = mx + n dan lingkaran dengan persamaan x2 + y2 + Ax + By + C = 0. Kedudukan garis pada lingkaran dapat kita cari menggunakan nilai diskriminannya. Diskriminan (D = b2 - 4ac) diambil dari persamaan kuadrat yang merupakan hasil substitusi dari persamaan garis dengan persamaan lingkarannya.

kedudukan garis pada lingkaran

Contoh soal:

Tentukan posisi garis y = 3x - 1 terhadap lingkaran x2 + y2 + 2x + 2y - 4 = 0!

Pembahasan:

Pertama, kita cari persamaan kuadrat dengan mensubstitusikan terlebih dahulu persamaan garis y = 3x - 1 ke dalam persamaan lingkaran x2 + y2 + 2x + 2y - 4 = 0, sehingga:

x2 + (3x - 1)2 + 2x + 2(3x - 1) - 4 = 0

x2 + 9x2 - 6x + 1 + 2x + 6x - 2 - 4 = 0

10x2 + 2x - 5 = 0

Setelah kita peroleh persamaan kuadratnya, kita cari nilai diskriminannya sebagai berikut:

10x2 + 2x - 5 = 0, a = 10, b = 2, c = -5.

D = b2 - 4ac

D = 22 - 4(10)(-5)

D = 22 + 200 = 222 > 0

Oleh karena ndilai diskriminannya lebih besar dari 0, maka garis y = 3x - 1 terletak di dalam lingkaran x2 + y2 + 2x + 2y - 4 = 0.

Bagaimana, nih? Semoga kamu paham ya dengan penjelasan di atas. Nah, di bawah ini kakak masih ada beberapa soal yang bisa dijadikan sebagai latihan kamu. Ingat, belajar matematika itu harus banyak latihan soal ya supaya materi yang kamu pelajari lebih mudah terserap.

lingkaran

Oke, selesai sudah pembahasan kita kali ini. Kakak harap, artikel ini dapat membantumu dalam memahami materi tentang kedudukan titik dan garis pada lingkaran, ya. Uhm, tapi, kalau misalnya kamu masih kurang jelas dengan penjelasan di atas, kamu juga bisa kok gunakan aplikasi Ruangguru yang lain, yaitu ruangbelajar. Belajar jadi lebih mudah dan menyenangkan bersama para Master Teacher yang seru abis.

New Call-to-action

Beri Komentar